量子力学笔记：定态

我们要解如下的薛定谔方程：

$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V\Psi$$

我们假设$\Psi$可以分解为时间和空间的乘积：

$$\Psi(x,t) = \psi(x)\phi(t)$$

代入方程得到：

$$i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t}\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\phi + V\psi\phi$$

两边同时除以$\psi\phi$得到：

$$i\hbar\frac{1}{\phi}\frac{\partial\phi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V$$

左边是时间的函数，右边是空间的函数，所以两边都等于一个常数：

$$i\hbar\frac{1}{\phi}\frac{\partial\phi}{\partial t} = E$$ $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V = E$$

第一个方程的解为：

$$\phi(t) = e^{-i\frac{Et}{\hbar}}$$

第二个方程被称作定态薛定谔方程，在有具体的势能函数$V$的情况下，可以求解出$\psi$，从而得到$\Psi$。

并不是所有波函数都能被分解为时间和空间的乘积，为什么分离变量法能解出这样的波函数？

1.对于定态波函数，尽管其中含有时间，但其模方，即概率密度，是不随时间变化的。其中的时间项相互抵消。对其他期望值也是同样。

2.它们有确定的总能量。经典力学中，总能量用哈密顿量表示：

$$H = \frac{p^2}{2m} + V$$

哈密顿算符为：

$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V$$

于是定态薛定谔方程可以写为：

$$\hat{H}\psi = E\psi$$

并且能量的期望值为：

$$\langle E\rangle = \int\psi^*\hat{H}\psi\mathrm{d}x = E\int\psi^*\psi\mathrm{d}x = E$$

能量的方差为：

$$\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2 = \int\psi^*\hat{H}^2\psi\mathrm{d}x - E^2 = 0$$

3.最终的解是分离变量解的线性组合。对于定态薛定谔方程，我们可以得到一系列解：

$$\Psi_n(x) = \psi_1(x)e^{-i\frac{E_1t}{\hbar}} + \psi_2(x)e^{-i\frac{E_2t}{\hbar}} + \cdots$$

薛定谔方程的解的线性组合仍然是薛定谔方程的解。于是我们得到：

$$\Psi(x,t) = \sum_n c_n\Psi_n(x)e^{-i\frac{E_nt}{\hbar}}$$